La démonstration

Démontrer c'est être capable de montrer que ce que l'on dit est vrai avec des arguments. Pour nous convaincre, ces arguments doivent être en accord avec les règles de la logique et avec le réel (à condition que le réel soit logique).



Quelle vérité peut-on atteindre par la démonstration?

• La logique est une science et son fondateur est Aristote (Organon). Il présente les règles de la pensée ou du discours afin qu'il soit recevable. Trois principes:

1. Le principe d'identité: un terme doit garder le même sens tout au long du discours
2. Le principe de non-contradiction
3. Le principe du Tiers-Exclu: une chose ne peut pas être à la fois elle-même et son contraire.
   

• La forme de discours la plus conforme aux exigences logiques parce que la plus systématique est le syllogisme: si a=b et si c=a alors c=b. Cependant un discours conforme à la logique (valide: vérité formelle) peut ne pas être conforme au réel (vrai: vérité matérielle). (Exemple de Socrate vert)

• Hegel critique le second principe de la logique: La contradiction est ce qu'on écoute en premier lieu des choses. Elle est considérée comme un simple accident, pour ne pas dire, une anomalie. Mais c'est un fait d'expérience courante qu'il y a une foule de choses contradictoires. Pour lui les choses sont à la fois elles-même et leur contraire (dialectique du maître et de l'esclave). Chacun fait l'épreuve de cette contradiction à l'intérieur de lui-même.

• Hegel ajoute: C'est seulement dans la mesure ou une chose enferme une contradiction qu'elle est capable de mouvements, d'activité. Les choses progressent donc en cherchant à surmonter leurs contradictions.

• Nous nous retrouvons face à une difficulté: OU un discours est logique et clair au sens mais falsifie le réel (Aristote) OU il exprime le réel tel qu'il est avec toutes ses contradictions mais frôle l'inintelligible (Hegel).

Tout est-il démontré en maths et en philo?

• En maths le 5ème postulat d'Euclide n'a pas été démontré mais posé (point et droite parallèle): nous l'admettons car il coïncide avec notre vision du monde réel.
• En philo, Descartes pose Dieu est parfait. Il ne le démontre pas
• Les postulats, les axiomes (en maths) et les principes (en philo) sont des propositions non-démontrées. Le mot principe du latin PRINCEPS signifie le prince (celui commande) et le premier (celui qui commence)
• Philo et maths sont des édifices de logique qui reposent sur de l'indémontré.
• Pascal: Ce savoir que nous avons que nous ne rêvons point, qu'il y a 3 dimensions dans l'espace et que les nombres sont infinis, sans pouvoir le prouver [...] Cette impuissance ne sert qu'à humilier la raison, qui voudrait juger de tout, mais non pas à combattre notre certitude. Cette certitude est pour lui intuitive: une "connaissance du cœur" qui ne vient ni des sens ni de l'entendement.

Quel crédit accorder alors aux maths et à la philo?

• Les maths sont une axiomatique, c'est à dire qu'une théorie mathématique commence avec une proposition non démontrée qu'on nous demande d'admettre. Sur cet axiome le mathématicien construit une chaine de déduction qui sera recevable si elle ne contient aucune erreur logique. Riemann= géométrie alleptique (aucune parallèle ne passe par le point). Lobatchevski= géométrie hyperbolique (une infinité de parallèle par le point) Comment un langage abstrait dont la qualité réside dans sa cohérence interne nous permet-il de connaitre les choses de la nature? Pour Descartes les mathématiques font partie des idées innées: le monde a une strcture mathématique. Théorie exigeant qu'on démontre l'existence de Dieu. Pour Kant les concepts mathématiques font partie de nos concepts a-priori.
• La philo ne cherche pas ce qui est mais ce qui devrait être. L'interessant est la rigueur de ses démonstrations et la radicalité de ses questionnements, et, au delà, les valeurs qu'il crée et l'horizon qu'il dessine. Descartes n'a pas développé sa proposition mais convaincu son siècle contre les théologiens de la légitimité des sciences. La philo met en question les évidences de l'époque et fait ainsi progresser les esprits.